How to find maximum spanning tree?

对于如何找到最大生成树的问题

在图论中，生成树是一个无环的连通子图，并包括图中所有的顶点。最大生成树则是指边的权值和最大的生成树。寻找最大生成树的问题经常出现在网络设计、电路设计等领域。解决这个问题的常用算法有两种：普里姆算法（Prim's Algorithm）和克鲁斯卡尔算法（Kruskal's Algorithm）。这两种算法通常用于寻找最小生成树，但是通过对权值的处理，同样可以用来寻找最大生成树。

普里姆算法

普里姆算法的基本思想是从图中的某一顶点开始，逐渐长出一棵包含所有顶点的生成树。每次迭代添加与当前生成树连接的最大权值的边。

1. 选取图中的任意一个顶点作为开始。
2. 找到连接当前生成树和图中剩余顶点的最大权值的边。
3. 将这条边以及其对应的顶点加入到当前生成树中。
4. 重复步骤2和3，直到所有的顶点都被包含在生成树中。

克鲁斯卡尔算法

克鲁斯卡尔算法的基本思想是将图中的所有边按照权值从大到小进行排序，然后按照顺序选取边，构造最大生成树。

1. 将图中所有的边按照权值从大到小进行排序。
2. 初始化只包含所有顶点但不包含任何边的森林（每个顶点自成一个连通分量）。
3. 依序考虑每一条边，如果这条边连接的两个顶点属于不同的连通分量，则添加这条边，并合并相应的连通分量。
4. 重复步骤3，直到所有的顶点都在同一个连通分量中，即构成了一个生成树。

示例

假设我们有一个图，它包含4个顶点和5条边，边的权值分别是：

• A-B: 7
• A-D: 6
• B-C: 9
• B-D: 8
• C-D: 5

使用克鲁斯卡尔算法寻找最大生成树的步骤如下：

1. 对边进行排序：B-C(9), B-D(8), A-B(7), A-D(6), C-D(5)。
2. 从权值最大的边开始添加：首先添加B-C。
3. 接着添加B-D，这时我们的生成树中包含了顶点B, C, D。
4. 然后添加A-B，此时所有顶点都包含在生成树中。
5. 此时，最大生成树包含的边为：B-C, B-D, A-B，总权值为24。

使用普里姆算法也可以获得同样的最大生成树，只不过迭代的过程有所不同。

这两种算法，无论是寻找最大生成树还是最小生成树，关键都在于如何定义和比较边的权值。通过对权值的相反数处理，我们可以利用这些算法找到最大生成树。